+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как перемножить степени

Содержание

Как перемножить степени

Как перемножить степени

Итак, a3 ∙ a5 = a8. Пусть требуется b42 ∙ b28. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b70. Итак, b42 ∙ b28 = b70. Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются.

С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры: Поясним некоторые из этих примеров: bn – 3 ∙ b5 надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т.

Коллегия адвокатов

Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 . Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками. Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a. Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Умножение и деление чисел со степенями

Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22.

Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются.

Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты.

Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами. Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование. До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей.

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. То есть

Пример 1: Представьте в виде степени.

а)

б)

в)

г)

д)

Korholding.ru

Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 . Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 . Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых. Так, a n .a m = a m+n . Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n; И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m; Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 . Или: 4a n ⋅ 2a n = 8a 2n b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4 (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1 Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y).

Ответ: x 4 — y 4 . Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные. 1.

Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней

Итак, надо $\frac{an}{am}$, где n > m.

Запишем степени в виде дроби: Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.

Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a{n-m}$. Значит, $\frac{an}{am}=a{n-m}$.

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень.

Допустим, что n=m, тогда $a0= a{n-n}=\frac{an}{an} =1$.

Примеры. $\frac{33}{32}=3{3-2}=31=3$. $\frac{22}{22}=2{2-2}=20=1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые. Допустим, необходимо $\frac{an}{ bn}$.

Запишем степени чисел в виде дроби: Для удобства представим.

Используя

Пассажир

Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

. Например,

.

Пример 1. Найти значение выражения

. Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

(степень произведения равна произведению степеней множителей),

(при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

Теперь получим: В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Как умножать степени

Если перемножаемые степени равны между собой, скажем, 5?

* 5? , то итогом будет степень с основанием, равного этим идентичным основаниям степеней, возведённое в показатель степени, равный показателю степеней, умноженного на число этих идентичных степеней.То есть5? * 5? = (5?)? = 5?*? = 5? = 15625Или иной пример с таким же итогом:5? * 5? * 5? = (5?)? = 5?*? = 5?

Как перемножать числа с разными степенями и основаниями

Как перемножить степени

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Степень с целым и дробным показателем

Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) .

Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2. Найти значение выражения

.

Пример 3. Найти значение выражения

.

Умножение чисел со степенями с разными основаниями

Важно То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн.

км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например: 4578 = 4,578 · 103 ;

103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1.

Умножение чисел со степенями с одинаковыми основаниями

Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8.

Теперь получим:

В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Умножение чисел со степенями с разными основаниями и показателями

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a4 3h2b6 5(a — h)6 Вычитаем -6a4 4h2b6 2(a — h)6 Результат 8a4 -h2b6 3(a — h)6

Или: 2a4 — (-6a4) = 8a4 3h2b6 — 4h2b6 = -h2b6 5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множитель x-3 3a6y2 a2b3y2 Второй множитель am -2x a3b2y Результат amx-3 -6a6xy2 a2b3y2a3b2y

Или: x-3 ⋅ am = amx-3 3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2 a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.

Умножение чисел со степенями с разными основаниями и разными степенями

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4.
Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение.
В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.

Степень с натуральным показателем и её свойства

Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

an =

В выражении an :

— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Умножение чисел со степенями с разными основаниями примеры

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

3.
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

.

Например, .

4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

.

Например, .

5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

.

Например, .

Пример 1. Найти значение выражения

.

Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания.

Умножение чисел со степенями с разными основаниями и разными

Например:

5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.

2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.

Например:

9² * 81².

Здесь 81 можно представить в виде 9².

Поэтому 81² = (9²)² = 94 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

В итогу получим, что 9² * 81² = 92 * 94 = 96 = 531441.

3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.

Например:

5² * 84.

84 можно представить как 8² * 8².

Поэтому:

5² * 84 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.

4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.

Например:

3² * 7³.

Основания и показатели в этом случае являются простыми числами.

Умножение и деление чисел со степенями с разными основаниями

Внимание То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Делимое y2m 8an+m 12(b + y)n Делитель ym 4am 3(b + y)3 Результат ym 2an 4(b +y)n-3

Или: y2m : ym = ym 8an+m : 4am = 2an 12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.

Результат деления a-5 на a-3, равен a-2. Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a4}{3a2}$ Ответ: $\frac{5a2}{3}$.

2.

Второй множитель 2an b4y (b + h — y) Результат 8a2n b6y4 (b + h — y)n+1

Или: 4an ⋅ 2an = 8a2n b2y3 ⋅ b4y = b6y4 (b + h — y)n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x — y). Ответ: x4 — y4. Умножьте (x3 + x — 5) ⋅ (2×3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1.

Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a2 — b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a2 — y2.

Source: consulting-expert.ru

Свойства степени

Как перемножить степени
Что такое степень числа Свойства степени Возведение в степень дроби

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

am · an = am + n, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Примеры.

  • Упростить выражение. b · b2 · b3 · b4 · b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
  • Представить в виде степени. 615 · 36 = 615 · 62 = 615 · 62 = 617
  • Представить в виде степени. (0,8)3 · (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если
посчитать (33 + 32) = (27 + 9) = 36 , а 35 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= am − n, где «a» — любое число, не равное нулю, а «m», «n» — любые натуральные числа такие, что «m > n».

Примеры.

  • Записать частное в виде степени (2b)5 : (2b)3 = (2b)5 − 3 = (2b)2
  • Вычислить. = 113 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  • Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней. 38 : t = 34t = 38 : 34t = 38 − 4t = 34 Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

  • Пример. Упростить выражение. 45m + 6 · 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 − 4m − 3 = 42m + 5
  • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени. = = = = = 211 − 5 = 2 6 = 64

Важно!

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (43 −42) на 41. Это понятно, если посчитать (43 −42) = (64 − 16) = 48, а 41 = 4

Будьте внимательны!

Запомните!

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an)m = an · m, где «a» — любое число, а «m», «n» — любые натуральные числа.

  • Пример. (a4)6 = a4 · 6 = a24
  • Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Запомните!

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn, где «a», «b» — любые рациональные числа; «n» — любое натуральное число.

  • Пример 1. (6 · a2 · b3 · c )2 = 62 · a2 · 2 · b3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a4 · b6 · с 2
  • Пример 2. (−x2 · y)6 = ( (−1)6 · x2 · 6 · y1 · 6) = x12 · y6

Важно!

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(an · bn)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить. 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10 000
  • Пример. Вычислить. 0,516 · 216 = (0,5 · 2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 45 · 32 = 43 · 42 · 32 = 43 · (4 · 3)2 = 64 · 122 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

421 · (−0,25)20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25))20 = 4 · (−1)20 = 4 · 1 = 4 Запомните!

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где «a», «b» — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней. (5 : 3)12 = 512 : 312

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Действия со степенями: правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Как перемножить степени

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло2-ая ст-нь3-я ст-нь
111
248
3927
41664
525125
636216
749343
864512
981279
101001000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

zakondostatka.ru

Как перемножить степени

Известно, что знак корня является квадратным корнем из некоторого числа. В ней мы рассмотрим методы умножения корней:

  1. с разными показателями.
  2. без множителей;
  3. с множителями;

Алгоритм действий: Убедиться, что у корня одинаковые показатели (степени).

Вспомним, что степень записывается слева над знаком корня. Если нет обозначения степени, это значит, что корень квадратный, т.е. со степенью 2, и его можно умножать на другие корни со степенью 2. Пример 1: 18×2=? Пример 2: 10×5=? Пример 3: 33×93=? Далее необходимо перемножить числа под корнем. Пример 1: 18×2=36 Пример 2: 10×5=50 Пример 3: 33×93=273 Упростить подкоренные выражения.

Умножение корней: основные правила

19 января 2020Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать).

Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать.

Остальное — брехня и пустая трата времени. Сегодня мы идём дальше.

Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся.

Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:) Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части: Сначала мы разберём правила умножения.

Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще.

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Как перемножить степени

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 – bn и h5 -d4 есть a3 – bn + h5 – d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степениодинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6 есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из2a43h2b65(a – h)6
Вычитаем-6a44h2b62(a – h)6
Результат8a4-h2b63(a – h)6

Или:
2a4 – (-6a4) = 8a4
3h2b6 – 4h2b6 = -h2b6
5(a – h)6 – 2(a – h)6 = 3(a – h)6

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a3b2 делённое на b2, равно a3.

Делимое9a3y4a2b + 3a2d⋅(a – h + y)3
Делитель-3a3a2(a – h + y)3
Результат-3y4b + 3d

Или:$\frac{9a3y4}{-3a3} = -3y4$$\frac{a2b + 3a2}{a2} = \frac{a2(b+3)}{a2} = b + 3$

$\frac{d\cdot (a – h + y)3}{(a – h + y)3} = d$

Запись a5, делённого на a3, выглядит как $\frac{a5}{a3}$. Но это равно a2. В ряде чисел
a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y3:y2 = y3-2 = y1. То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И an+1:a = an+1-1 = an. То есть $\frac{aan}{a} = an$.

Делимоеy2m8an+m12(b + y)n
Делительym4am3(b + y)3
Результатym2an4(b +y)n-3

Или:
y2m : ym = ym
8an+m : 4am = 2an
12(b + y)n : 3(b + y)3 = 4(b +y)n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a-5 на a-3, равен a-2.
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h2:h-1 = h2+1 = h3 или $h2:\frac{1}{h} = h2.\frac{h}{1} = h3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Степень — свойства, правила, действия и формулы

Как перемножить степени

1001student.ru > Математика > Степень — свойства, правила, действия и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

  • Онлайн-калькулятор возведения в степень
  • Что такое степень числа
  • Таблица степеней от 1 до 10
  • Свойства степеней
  • Степень с отрицательным показателем
  • Степень с натуральным показателем
  • Дробная степень
  • Степень с иррациональным показателем
  • Заключение

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3;

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.