+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

Содержание

Сложение дробей

Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

Разные действия с дробями можно выполнять, например, сложение дробей. Сложение дробей можно разделить на несколько видов. В каждом виде сложения дробей свои правила и алгоритм действий. Рассмотрим подробно каждый вид сложения.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

На примере посмотрим, как складывать дроби с общим знаменателем.

Туристы пошли в поход из точки A в точку E. В первый день они прошли от точки A до B или \(\frac{1}{5}\) от всего пути. Во второй день они прошли от точки B до D или \(\frac{2}{5}\) от всего пути. Какое расстояние они прошли от начала пути до точки D?

Решение:

Чтобы найти расстояние от точки A до точки D нужно сложить дроби \(\frac{1}{5} + \frac{2}{5}\).

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями заключается в том, что нужно числители этих дробей сложить, а знаменатель останется прежний.

\(\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}\)

В буквенном виде сумма дробей с одинаковыми знаменателями будет выглядеть так:

\(\bf \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}\)

Ответ: туристы прошли \(\frac{3}{5}\) всего пути.

Сложение дробей с разными знаменателями

Рассмотрим пример:

Нужно сложить две дроби \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{7}\).

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно сначала найти общий знаменатель, а потом воспользоваться правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как найти общий знаменатель можно посмотреть здесь, нажав на ссылку>>

Для знаменателей 4 и 7 общим знаменателем будет число 28. Первую дробь \(\frac{3}{4}\) нужно умножить на 7. Вторую дробь \(\frac{2}{7}\) нужно умножить на 4.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{7} = \frac{3 \times \color{red} {7} + 2 \times \color{red} {4}}{4 \times \color{red} {7}} = \frac{21 + 8}{28} = \frac{29}{28} = 1\frac{1}{28}\)

В буквенном виде получаем такую формулу:

\(\bf \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

Сложение смешанных чисел или смешанных дробей

Сложение смешанных дробей происходит по закону сложения.

У смешанных дробей складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Если дробные части смешанных чисел имеют одинаковые знаменатели, то числители складываем, а знаменатель остается тот же.

Сложим смешанные числа \(3\frac{6}{11}\) и \(1\frac{3}{11}\).

\(3\frac{6}{11} + 1\frac{3}{11} = (\color{red} {3} + \color{blue} {\frac{6}{11}}) + (\color{red} {1} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = (\color{red} {3} + \color{red} {1}) + (\color{blue} {\frac{6}{11}} + \color{blue} {\frac{3}{11}}) = \color{red}{4} + (\color{blue} {\frac{6 + 3}{11}}) = \color{red}{4} + \color{blue} {\frac{9}{11}} = \color{red}{4} \color{blue} {\frac{9}{11}}\)

Если дробные части смешанных чисел имею разные знаменатели, то находим общий знаменатель.

Выполним сложение смешанных чисел \(7\frac{1}{8}\) и \(2\frac{1}{6}\).

Знаменатель разный, поэтому нужно найти общий знаменатель, он равен 24. Умножим первую дробь \(7\frac{1}{8}\) на дополнительный множитель 3, а вторую дробь \(2\frac{1}{6}\) на 4.

\(7\frac{1}{8} + 2\frac{1}{6} = 7\frac{1 \times \color{red} {3}}{8 \times \color{red} {3}} = 2\frac{1 \times \color{red} {4}}{6 \times \color{red} {4}} =7\frac{3}{24} + 2\frac{4}{24} = 9\frac{7}{24}\)

Вопросы по теме:
Как складывать дроби?
Ответ: сначала надо определиться к какому типу относиться выражение: у дробей одинаковые знаменатели, разные знаменатели или смешанные дроби. В зависимости от типа выражения переходим к алгоритму решения.

Как решать дроби с разными знаменателями?
Ответ: необходимо найти общий знаменатель, а дальше по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Как решать смешанные дроби?
Ответ: складываем целые части с целыми и дробные части с дробными.

Пример №1:
Может ли сумма двух правильных дробей в результате получить правильную дробь? Неправильную дробь? Приведите примеры.

Решение:

\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}\)Дробь \(\frac{5}{7}\) это правильная дробь, она является результатом суммы двух правильных дробей \(\frac{2}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).
\(\frac{2}{5} + \frac{8}{9} = \frac{2 \times 9 + 8 \times 5}{5 \times 9} =\frac{18 + 40}{45} = \frac{58}{45}\)

Дробь \(\frac{58}{45}\) является неправильной дроби, она получилась в результате суммы правильных дробей \(\frac{2}{5}\) и \(\frac{8}{9}\).

Ответ: на оба вопроса ответ да.

Пример №2:
Сложите дроби: а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11}\)  б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\).

а) \(\frac{3}{11} + \frac{5}{11} = \frac{3 + 5}{11} = \frac{8}{11}\)

б) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{9} = \frac{1 \times \color{red} {3}}{3 \times \color{red} {3}} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{5}{9}\)

Пример №3:
Запишите смешанную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) \(1\frac{9}{47}\)   б) \(5\frac{1}{3}\)

а) \(1\frac{9}{47} = 1 + \frac{9}{47}\)

б) \(5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}\)

Пример №4:
Вычислите сумму: а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7}\)  б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13}\)  в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15}\)

Решение:

а) \(8\frac{5}{7} + 2\frac{1}{7} = (8 + 2) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 10 + \frac{6}{7} = 10\frac{6}{7}\)

б) \(2\frac{9}{13} + \frac{2}{13} = 2 + (\frac{9}{13} + \frac{2}{13}) = 2\frac{11}{13} \)

в) \(7\frac{2}{5} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{2 \times 3}{5 \times 3} + 3\frac{4}{15} = 7\frac{6}{15} + 3\frac{4}{15} = (7 + 3)+(\frac{6}{15} + \frac{4}{15}) = 10 + \frac{10}{15} = 10\frac{10}{15} = 10\frac{2}{3}\)

Задача №1:
За обедам съели \(\frac{8}{11}\) от торта, а вечером за ужином съели \(\frac{3}{11}\). Как вы думаете торт полностью съели или нет?

Решение:
Знаменатель дроби равен 11, он указывает на сколько частей разделили торт. В обед съели 8 кусочков торта из 11. За ужином съели 3 кусочка торта из 11. Сложим 8 + 3 = 11, съели кусочков торта из 11, то есть весь торт.

\(\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1\)

Ответ: весь торт съели.

Сложение и вычитание дробей

Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

30 июля 2011

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Задача. Найдите значение выражения:

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

  1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
  2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
  3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

  1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
  2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
  3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
  4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями
sh: 1: –format=html: not found

Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение алгебраических дробей

Запомните!

Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

Можно складывать дроби

При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
  2. знаменатель остаётся прежним.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

Так как знаменатель у обеих дробей «2а», значит, дроби можно сложить.

Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

Вычитание алгебраических дробей

Запомните!

Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  1. из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
  2. знаменатель остаётся прежним.

Важно!

Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель «2с», значит, эти дроби можно вычитать.

Вычтем из числителя первой дроби «(a + d)» числитель второй дроби «(a − b)». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.
  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
  2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
  3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
  4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.

Вернемся к нашему примеру.

Рассмотрим знаменатели «15a» и «3» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для «15» и «3» — это «15».
  2. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях «15a» и «5» есть только
    один одночлен — «а».
  3. Перемножим НОК из п.1 «15» и одночлен «а» из п.2. У нас получится «15a». Это и будет общим знаменателем.
  4. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить «15a»?».

Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель «15a», значит, ее не требуется ни на что умножать.

Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить «3», чтобы получить «15a»?» Ответ — на «5a».

При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на «5a» и числитель, и знаменатель.

Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики».

Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

Рассмотрим знаменатели «(x − y)» и «(x + y)» обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

  1. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
  2. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их. Важно!

    Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

У нас есть два различных многочлена в знаменателях «(x − y)» и «(x + y)». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. «(x − y)(x + y)» — общий знаменатель.

Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

В первой алгебраической дроби знаменатель «(p2 − 36)». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

После разложения многочлена «(p2 − 36)» на произведение многочленов
«(p + 6)(p − 6)» видно, что в дробях повторяется многочлен «(p + 6)». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов «(p + 6)(p − 6)».
Важно!

Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

Вынесем общий множитель «а» за скобки в обоих знаменателях.

После вынесения общего множителя «а» за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен «а». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: «а(а + 1)(b + 1)».

Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем «1».

Представим одночлен «а» как алгебраическую дробь со знаменателем «1».

Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю «(а − 1)» и решим пример.

Сложение дробей с разными знаками правило

Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками. Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.

Навигация по странице.

Правило сложения чисел с разными знаками

Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга.

При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.

Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:

  • найти модули слагаемых;
  • сравнить полученные числа, при этом
    • если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
    • если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
  • из большего модуля вычесть меньший;
  • перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
  • Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.

    Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.

    Примеры сложения чисел с разными знаками

    Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.

    www.cleverstudents.ru

    Сложение и вычитание дробей

    Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

    Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

    Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

    Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

    Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

    Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

    Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

    Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

    Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

    Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  • Плюс на минус дает минус;
  • Минус на минус дает плюс.
  • Разберем все это на конкретных примерах:

    В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

    Урок математики по теме «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» (6-й класс)

    Разделы: Математика

    Цели и задачи урока:

  • Обобщить и систематизировать знаний учащихся по данной теме.
  • Развивать предметные и общеучебные навыки и умения, умение использовать полученные знания для достижения поставленной цели; устанавливать закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний.
  • Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля; вырабатывать желания и потребности обобщать полученные факты; развивать самостоятельность, интерес к предмету.
  • В результате этого урока учащиеся смогут:

  • закрепить знания по темам: делимость чисел, обыкновенные дроби, отношения и пропорции, сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел,
  • активизировать внимание на различных этапах урока;
  • научиться взвешивать и доказывать альтернативные мнения, принимать продуманные решения, общаться друг с другом;

Учебник: Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.– М: “Русское слово”, 2009 г.

I. Вступительное слово учителя.

II. Проверка домашнего задания.

III. Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

IV. Решение заданий по учебнику.

V. Самостоятельная работа по вариантам.

VI. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.

  • Компьютер
  • Мультимедийный проектор, звуковые колонки
  • Программа “Microsoft PowerPoint 2003” .Презентация.
  • I. Организационный моментУченики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.xn--i1abbnckbmcl9.xn--p1ai

    Сложение чисел с разными знаками. 6-й класс

    Цели урока:

    • научить складывать отрицательные числа, числа с разными знаками и противоположные числа;
    • развитие познавательной активности, творческих способностей, умения оценивать друг друга;
    • формирование умения самостоятельно мыслить.
    • Ход урокаУстная работа: (приложение, слайд №2-4)1. Как сложить две десятичные дроби?(Сложение по разрядам, запятая — под запятой.)2. Как сложить две обыкновенные дроби?(- найти общий знаменатель;— найти дополнительные множители;3. Вычислить:

      • 4 + 1,5 =
      • 6,3 + 3,4 =
      • 7,2 — 4,1 =
      • 4. Как сравнить десятичные дроби? (по разрядам.)5. Как сравнить обыкновенные дроби, если:а) знаменатели равны; (из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой — больше)б) числители равны; (из двух дробей с равными числителями больше та, числитель которой — меньше)в) и числитель, и знаменатель — разные. (если числители и знаменатели дробей разные, то приводим их к общему знаменателю, а затем сравниваем их также как с равными знаменателями)6. Сравнить:

        • 1,3 и 2,4;
        • 3,15 и 3,17;
        • и ;
        • и ;
        • и .
        • 7. Какие числа называются отрицательными? (числа со знаком «минус»)8. Какие числа называются положительными? (числа со знаком «плюс»)9. Какие числа называются противоположными? (числа, находящиеся на одинаковом расстоянии от нуля, но в противоположном направлении.)10. Назовите положительные, отрицательные и противоположные числа:

        Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

        Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

        дроби к общему знаменателю. Для этого ищем , для знаменателей 7 и 6 это число 42. Делим число 42 на знаменатели дробей 3/7 и 2/6 Так мы нашли дополнительные множители. Дальше домножаем дроби на дополнительные множители и получаем выражение:

        2) Складываем дроби.

        В нашем случае дробь можно сократить на 2 , и в конечный ответ записываем число 16/21 Определение: Для того, чтобы сложить дробь с целым числом, нужно сначала представить целое число как дробь со знаменателем равным 1. Алгоритм расчета: 1) Приводим дроби к общему знаменателю.

        2) Складываем дроби

        3) Если есть возможность, то сокращаем полученную дробь. 4) Если же получилась неправильная дробь, то вычисляем из нее целую часть. Пример:

        Решение:

        Вычисляем

        Дроби. Сложение дробей

        Запятые обязательно выравниваем чётко друг под другом.

        Правила сложения десятичных дробей: 1.

        Если нужно, уравниваем количество знаков после запятой.

        Для этого добавляем нули к необходимой дроби.

        2. Записываем дроби так, чтобы запятые находились друг под другом.

        3. Складываем дроби, не обращая внимания на запятую. Разберёмся на примере. Найти сумму десятичных дробей: 0,678 + 13,7 = Уравниваем число знаков после запятой в десятичных дробях.

        Дописываем 2 нуля справа к десятичной дроби 13,7. 0,678 + 13,700 = Записываем ответ: 0,678 + 13,7 = 14,378 Если сложение

        Действия с дробями

        Сложить дроби

        и .

        Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения: В ответе получилась неправильная дробь

        . Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца: Пример 3.

        Сложить дроби

        и .

        Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения: Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части.

        Сложение и вычитание целых чисел

        Сумма двух противоположных чисел равна нулю: (-7) + 7 = 0 Вычитание одного целого числа из другого можно заменить сложением, при этом уменьшаемое берётся со своим знаком, а вычитаемое с противоположным: (+6) — (+5) = (+6) + (-5) = 1 (+6) — (-5) = (+6) + (+5) = 11 (-6) — (-5) = (-6) + (+5) = -1 (-6) — (+5) = (-6) + (-5) = -11 Из данных примеров следует, что чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. При решении выражений, содержащих и сложение и вычитание, можно сначала заменить вычитание сложением, затем отдельно сложить положительные и отрицательные слагаемые, а потом найти сумму получившихся чисел.

        Пример: 12 — 18 + 41 — 9 Заменим вычитание на сложение: 12 + (-18) + 41 + (-9) сгруппируем слагаемые по их знакам и сложим отдельно положительные и отрицательные числа: (12 + 41) + ((-18) + (-9)) = 53 + (-27) Теперь осталось только

        Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (более сложные случаи)

        Решение.

        Для нахождения наименьшего общего знаменателя дробей воспользуемся основной теоремой арифметики и разложим знаменатели на простые множители.

        и

        . Следовательно,

        и

        .

        В нашем случае необходимы множители

        .

        Калькулятор дробей

        Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей.

        Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид «смешанной дроби», то также заполните поле, соответствующее целой части дроби.

        Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид «простой дроби», то оставьте данное поле пустым.

        Затем нажмите кнопку «Вычислить».

        Вид дроби: простые дроби смешанные дроби Дробь 1 Дробь 2 Результат − + − × ÷ − = − +/− +/− Вычислить ✖ Очистить поля с данными Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления.

        Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби — количество взятых этих частей целого.

        Дроби бывают правильными и неправильными.

        Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной.

        Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью.

        Алгебра 7-9 классы. 14. Решение типовых заданий по теме:

        Как сложить дроби с разными знаками и знаменателями

        Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

         Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

        При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

        Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

        где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

        Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

        чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же

        Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

        Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

        Пример 1. Сложим дроби

        Пример 2. Вычтем дроби

        Пример 3. Упростим выражение

        Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не последовательно, а совместно:

        Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

        Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

        Пример 1. Сложим дроби

        Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен . Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны .

        Имеем

        Пример 2. Преобразуем разность

        Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

        Простейшим общим знаменателем служит выражение Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

        Имеем

        Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

        Пример 3. Упростим выражение

        Представим выражение а – 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

         Умножение дробей. Возведение дроби в степень

        При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:

        Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

        где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

        чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

        Пример 1. Умножим дробь на дробь

        Воспользуемся правилом умножения дробей:

        Пример 2. Умножим дробь на дробь

        Имеем

        Пример 3. Представим произведение в виде рациональной дроби.

        Имеем

        Пример 4. Умножим дробь на многочлен

        При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:

        Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

        Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

        Рассмотрим выражение , являющейся  n-й степенью  рациональной дроби и докажем, что

        По определению степени имеем

        Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

        Следовательно , 

        Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

        чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

        Пример 5. Возведем дробь в третью степень.

        Воспользуемся правилом возведения в степень:

        Деление дробей

        При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например:

        Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

        где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

        Это равенство выражает правило деления рациональных :

        чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

        Пример 1. Разделим дробь на дробь .

        Воспользуемся правилом деления дробей:

        Пример 2. Разделим дробь на дробь

        Имеем

        Пример 3. Разделим дробь на многочлен a + 3.

        При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:

        Преобразование рациональных выражений

         Рациональное выражение представляет собой частное от деления суммы рациональных дробей многочлен.

        Деление на  можно заменить умножением на дробь Поэтому преобразование данного выражения сводится к сложению дробей и умножению результата на дробь  Вообще преобразование любого рационального выражения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или делению рациональных дробей.

        Из правил действий с дробями следует, что сумму, разнос произведение и частное рациональных дробей всегда можно предс вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

        Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение

        Сначала выполним умножение дробей, затем полученный результат вычтем из многочлена x + 1:

        Запись можно вести иначе:

        Пример 2. Представим выражение

        в виде рациональной дроби.

        Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем найденный результат умножим на дробь и, наконец, к полученному произведению прибавим 1:

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.