+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Метод расчета эл цепи по законам кирхгофа

Содержание

Законы Кирхгофа » Решение ТОЭ

Метод расчета эл цепи по законам кирхгофа

Задание 1 Линейные электрические цепи постоянного тока

ОГУ

Вариант 9

Сформулировать уравнения по законам Кирхгофа в общем виде. Определить токи ветвей методом контурных токов. Составить баланс мощностей. Нарисовать диаграмму распределения потенциала для внешнего контура электрической цепи.

Задачи для самостоятельного решения

В электрической цепи с двумя источниками синусоидальной ЭДС одна из катушек имеет индуктивные связи с двумя другими катушками.

Требуется составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения комплексных действующих значений токов ветвей.

Расчет сложной цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения, методом эквивалентного генератора. Построение потенциальной диаграммы

Для электрической цепи (рис. 0) выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить:

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

А.В. Бубнов, В.Л. Федоров. Расчетно-графическая работа № 2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011

Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее:

1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической.

2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.

3. По результатам расчета в п.2 произвести проверку выполненных расчетов при помощи законов Кирхгофа.

4. Определить комплексную мощность источника питания и проверить баланс мощностей.

5. Определить показания ваттметра.

6. Используя данные расчетов, записать мгновенные значения токов и напряжений.

7. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. При этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.

Задания для самостоятельной работы обучающихся

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

1. Для электрической схемы, изображенной на рис.0, по заданным сопротивлениям и ЭДС найти все токи способами:

а) используя законы Кирхгофа;

б) методом контурных токов;

в) методом узловых напряжений;

г) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.

Свести результаты расчетов в одну таблицу.

2. Определить показание вольтметра.

3. Составить баланс мощностей.

Скачать расчет электрической цепи постоянного тока

zadacha1-raschet-cepi-postoyannogo-toka.pdf [741,77 Kb] (cкачиваний: 533)

Задача 1.10 Определить ток в ветви с сопротивлением R3, используя законы Кирхгофа, если: E1 = 54 В, E2 = 162 В, R1 = R2 = 9 Ом, R3 = 40 Ом, внутренние соапотивления источников ЭДС r1 = r2 = 1 Ом.

Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

Для электрической схемы, изображенной на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивления R4, R5 и R6 эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;

4) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Скачать решение Задачи 1 Расчет электрической цепи постоянного тока reshenie-zadachi-raschet-elektricheskoy-cepi-postoyannogo-toka.pdf [777,31 Kb] (cкачиваний: 1092)

РАСЧЕТ ОДНОФАЗНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Заданы параметры цепи и напряжение на одном из участков цепи, включенном между точками а-б.

Требуется:

  1. Определить токи и напряжения на всех участках цепи символическим методом.
  2. Записать выражения для мгновенных значений всех токов и напряжений.
  3. Сделать проверку правильности решения по законам Кирхгофа.
  4. Составить баланс активных и реактивных мощностей.
  5. Построить волновые диаграммы напряжения, тока и мощности на входе цепи.
  6. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Скачать решение варианта 8 РАСЧЕТ ОДНОФАЗНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

rgr2-raschet-odnofaznoy-cepi-sinusoidalnogo-toka-simvolicheskim-metodom-var8.pdf [553,43 Kb] (cкачиваний: 404)

МАИ (НИУ) Кафедра 405, ОТЦ, Часть I, Билет № 4, Законы Кирхгофа

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра 405, Дисциплина ОТЦ, Часть I

Билет № 4

Законы Кирхгофа для напряжения и тока. Для заданной цепи составить уравнения по законам Кирхгофа и найти токи ветвей.

Расчет электрических цепей

Метод расчета эл цепи по законам кирхгофа

Для вычисления рабочих параметров радиотехнических устройств и отдельных схем применяют специальные методики. После изучения соответствующих технологий результат можно узнать быстро, без сложных практических экспериментов. Корректный расчет электрических цепей пригодится на стадии проектирования и для выполнения ремонтных работ.

Задачи на расчет электрических цепей решают с применением типовых алгоритмов

Категории элементов и устройств электрической цепи

Для условного изображения определенной цепи применяют специальную схему. Кроме отдельных физических компонентов, она содержит сведения о направлении (силе) токов, уровнях напряжения и другую информацию. Качественная модель показывает реальные процессы с высокой точностью.

Компоненты электрической цепи:

  • источник постоянного или переменного тока (Е) – аккумулятор или генератор, соответственно;
  • пассивные элементы (R) – резисторы;
  • компоненты с индуктивными (L) и емкостными (С) характеристиками;
  • соединительные провода.

На рисунке обозначены:

  • ветви – участки цепи с одним током;
  • узлы – точки соединения нескольких ветвей;
  • контур – замкнутый путь прохождения тока.

При решении практических задач выясняют, как узнать силу тока в отдельных ветвях. Полученные значения используют для анализа электрических параметров. В частности, можно определять падение напряжения на резисторе, мощность потребления подключенной нагрузки. При расчете цепей переменного тока приходится учитывать переходные энергетические процессы, влияние частоты.

Метод расчета по законам Ома и Кирхгофа

До изучения технологий вычислений необходимо уточнить особенности типовых элементов при подключении к разным источникам питания. При постоянном токе сопротивлением индуктивности можно пренебречь. Конденсатор эквивалентен разрыву цепи. Также следует учитывать следующие различия разных видов соединений резисторов:

  • последовательное – увеличивает общее сопротивление;
  • параллельное – распределяет токи по нескольким ветвям, что улучшает проводимость.

Закон Ома для участка цепи

Дифференциальный автомат надежная защита электрических цепей и человека

Типовая аккумуляторная батарея легкового автомобиля вырабатывает напряжение U = 12 V. Бортовой или внешний амперметр покажет соответствующее значение при измерении.

Соединение клемм проводом недопустимо, так как это провоцирует короткое замыкание. Если жила тонкая (< 1 мм), высокая плотность тока в соответствующем поперечном сечении быстро увеличит температуру вплоть до теплового разрушения материала с разрывом цепи.

Этот пример демонстрирует функциональность обычного плавкого предохранителя.

https://www.youtube.com/watch?v=bR_cJDOMjxo

Подключив нагрузку, можно мультиметром проверить напряжение. Значение этого параметра остается неизменным. Если известно сопротивление (пример – R = 50 Ом), применение закона Ома (I = U/ R) поможет рассчитать ток:

I = 12/ 50 = 0,24 А.

По вычисленному значению с использованием формулы быстро определяется мощность:

P = I2 *R = U2/ R = 0,0576 * 50 = 2,88 Вт.

К сведению. Результат показанного расчета пригодится для поиска подходящего резистора. Следует делать запас в сторону увеличения. По стандарту серийных изделий подойдет элемент с паспортной номинальной мощностью 5 Вт.

На практике приходится решать более сложные задачи. Так, при значительной длине линии нужно учесть влияние соединительных ветвей цепи. Через стальной проводник ток будет протекать хуже, по сравнению с медным аналогом.

Следовательно, надо в расчете учитывать удельное сопротивление материала. Короткий провод можно исключить из расчета. Однако в нагрузке может быть два элемента. В любом случае общий показатель эквивалентен определенному сопротивлению цепи.

При последовательном соединении Rэкв = R1 + R2 +…+ Rn. Данный метод пригоден, если применяется постоянный ток.

Закон Ома для полной цепи

Для вычисления такой схемы следует добавить внутреннее сопротивление (Rвн) источника. Как найти ток, показывает следующая формула:

I = U/ (Rэкв + Rвн).

Вместо напряжения (U) при расчетах часто используют типовое обозначение электродвижущей силы (ЭДС) – E.

Первый закон Кирхгофа

По классической формулировке этого постулата алгебраическая сумма токов, которые входят и выходят из одного узла, равна нулю:

I1 + I2 + … + In = 0.

Это правило действительно для любой точки соединения ветвей электрической схемы. Следует подчеркнуть, что в данном случае не учитывают характеристики отдельных элементов (пассивные, реактивные). Можно не обращать внимания на полярность источников питания, включенных в отдельные контуры.

Чтобы исключить путаницу при работе с крупными схемами, предполагается следующее использование знаков отдельных токов:

  • входящие – положительные (+I);
  • выходящие – отрицательные (-I).

Второй закон Кирхгофа

Этим правилом установлено суммарное равенство источников тока (ЭДС), которые включены в рассматриваемый контур.

Для наглядности можно посмотреть, как происходит распределение контрольных параметров при последовательном подключении двух резисторов (R1 = 50 Ом, R2 = 10 Ом) к аккумуляторной батарее (Uакб = 12 V).

Для проверки измеряют разницу потенциалов на выводах пассивных элементов:

  • UR1 = 10 V;
  • UR1 = 2 V;
  • Uакб = 12 V = UR1 + UR2 = 10 + 2;
  • ток в цепи определяют по закону Ома: I = 12/(50+10) = 0,2 А;
  • при необходимости вычисляют мощность: P = I2 *R = 0,04 * (50+10) = 2,4 Вт.

Второе правило Кирхгофа действительно для любых комбинаций пассивных компонентов в отдельных ветвях. Его часто применяют для итоговой проверки. Чтобы уточнить корректность выполненных действий, складывают падения напряжений на отдельных элементах. Следует не забывать о том, что дополнительные источники ЭДС делают результат отличным от нуля.

Метод преобразования электрической цепи

Подключение светодиода через резистор и его расчет

Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.

Расчет цепи с одним источником питания

Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:

E = Ur1 + Ur2 + Urn.

Параллельное соединение резисторов, схемотехника и формулы для расчетов

В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах.

Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.

Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:

  • R1 = 10 Ом;
  • R2 = 20 Ом;
  • R3= 15 Ом;
  • U = 12 V.

По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:

  • базовая формула для трех элементов:

Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.

  • подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
  • I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
  • I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
  • I2 = 12/20 = 0,6 А;
  • I3 = 12/15 = 0,8 А.

Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:

I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.

Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода.

В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации).

Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:

  • частоты сигнала (f);
  • индуктивности (L).

Вычисляют ХLпо формуле:

ХL = 2π * f * L.

Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:

Хc = 1/ 2π * f * C.

Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:

  • обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
  • составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
  • в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
  • проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.

Пояснительная схема к расчету с двумя источниками

Дополнительные методы расчета цепей

Расчёт электрической и акустической проводок

В зависимости от сложности устройства (электрической схемы), выбирают оптимальную технологию вычислений.

Метод узлового напряжения

Основные принципы этого способа базируются на законе Ома и постулатах Кирхгофа. На первом этапе определяют потенциалы в каждом узле. Далее вычисляют токи в отдельных ветвях с учетом соответствующих электрических сопротивлений (отдельных компонентов или эквивалентных значений). Проверку делают по рассмотренным правилам.

Метод эквивалентного генератора

Эта технология подходит для быстрого расчета тока в одной или нескольких контрольных ветвях.

В данной методике общую цепь представляют в виде источника тока с определенным напряжением и внутренним сопротивлением. Далее выполняют вычисления по контрольной ветви с применением стандартного алгоритма.

Закон Кирхгофа

Метод расчета эл цепи по законам кирхгофа

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

  • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
  • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
  • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда).Алгебраическая сумма – это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

  • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
  • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
  • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
  • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
  • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
  • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
  • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
  • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи.

Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

  • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
  • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
  • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
  • ГА: φГ – I4r4 = φА.
  • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
  • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
  • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений – Уравнение для переменных напряжени –

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

  • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
  • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
  • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

https://www.youtube.com/watch?v=LzqkLKOyid8

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

Дано:Решение:
  • Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда:
  • Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи.
  • Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же.
  • Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+».
  • Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения:
  • Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

Правила Кирхгофа для цепей переменного тока

Метод расчета эл цепи по законам кирхгофа

Замечание

Уравнение Ома для переменного тока:

\[I_mZ=U_m\ \left(1\right),\]

где импеданс $Z=R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$ позволяет решать все задачи для переменного тока в цепи, которая содержит индуктивность, емкость, сопротивление. Роль этого закона такая же, как и закона Ома для цепей постоянного тока. Следовательно, схема анализа разветвленных цепей переменного тока аналогична, анализу цепей постоянного тока.

Представим, что имеем сложную цепь переменного тока. Мы должны рассматривать только квазистационарные токи, так как для их мгновенных значений справедливы законы Кирхгофа, что и для постоянных токов. Для любого замкнутого контура выполняется второе правило Кирхгофа:

где ${{\mathcal E}}_{mk}$ — комплексные амплитуды ЭДС генераторов, $Z_k$ — комплексные импедансы, $I_{mk}$ — комплексные амплитуды сил тока.

[Определение]Для каждой точки разветвления цепи переменного тока выполняется первое правило Кирхгофа:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

[/Определение]

Замечание 1

Необходимо отметить, что законы постоянного тока применяются к комплексным амплитудам напряжения и ЭДС, тока и сопротивлений отдельных участков цепи.

Получается, что любую задачу о расчете цепи переменного тока можно решить, если получить решение для схемы, по которой течет постоянный ток, а затем заменить все физические величины (токи, напряжения, ЭДС, сопротивления участков) на их комплексные аналоги.

Замечание 2

Обобщение правил Кирхгофа на разветвленные цепи переменного тока было сделано Д.У. Рэлеем.

Как уже говорилось, каждая величина, которая входит в правила Кирхгофа является комплексной и уже содержит фазу (следовательно, и знак), при составлении уравнений надо проставлять знаки, так как один участок может принадлежать разным контурам, и соответственно может быть пройден по разным направлениям. Решение уравнений дает возможность найти как амплитуды всех сил токов, так и их фазы. Так как величины, входящие в уравнения комплексные, то количество уравнений в два раза больше, чем было бы, если бы токи были постоянными.

Метод контурных токов

При расчете сложных цепей используют метод контурных токов. Этот метод является следствием правил Кирхгофа. Сложный контур рассматривается как совокупность простых замкнутых контуров.

В данном методе принимается то, что на всех участках каждого замкнутого контура течет один и тот же ток. Эти токи называются котурнами. Суммарная сила тока, которая течет по участку контура, равна алгебраической сумме сил контурных токов, для которых этот участок общий.

Уравнение Кирхгофа записывается через контурные токи. При этом количество уравнений для контурных токов равно числу неизвестных токов.

Схема расчета сопротивления в цепи переменного тока

Для получения сопротивления цепи переменного тока можно применять простое правило. Гипотетически заменить каждую индуктивность ($L$) на комплексное сопротивление вида $i\omega L$, каждую емкость ($С$) – на $\frac{1}{i\omega C}$, все активные сопротивления оставить $R$.

С полученными комплексными сопротивлениями провести те же операции, что и при вычислении сопротивления цепи постоянного тока, используя правила нахождения сопротивления параллельных и последовательных соединений. Полученная в результате комплексная величина $Z=X+iY$ будет комплексным сопротивлением цепи (импедансом).

При этом $X$ — активное сопротивление цепи, $Y$ — реактивное сопротивление. Величина $\left|Z\right|$ — модуль импеданса:

есть сопротивление цепи переменного тока, оно определяет амплитуду силы тока при известной амплитуде напряжения на концах цепи. Аргумент импеданса определяет угол ($\varphi $), на который напряжение опережает ток в цепи:

Описанный метод расчета комплексных сопротивлений часто применяется в электротехнике. Он не требует вычисления сдвигов фаз (что требуется при построении диаграмм), так как они учтены в комплексных сопротивлениях. Кроме того этот метод позволяет проводить вычисления с любой точностью, тогда как методы графический и векторных диаграмм наглядны, но не точны.

При последовательном соединении импедансов он рассчитывается как сумма:

При параллельном, соответственно:

Пример 1

Задание: Найдите токи, которые текут в участках цепи, которая изображена на рис.1. Считать известными импедансы, которые указаны на рисунке.

Рисунок 1.

Решение:

На рис.1 сложный контур состоит из трех простых контуров. В уравнении Кирхгофа при обходе замкнутого контура (между его узлами) используется сила тока, протекающая по этому участку.

На каждом участке контура, в общем случае, сила тока отличается. Найдем полный импеданс для каждого участка контура между узлами (обозначим его соответствующим индексом).

Положительное направление обхода обозначено стрелками.

Запишем уравнения, в соответствии с правилами Кирхгофа:

\[Z_{11}I_1+Z_{12}I_2+Z_{13}I_3=U\left(1.1\right),\] \[Z_{21}I_1+Z_{22}I_2+Z_{23}I_3=0\left(1.2\right),\] \[Z_{31}I_1+Z_{32}I_2+Z_{33}I_3=0(1.3).\]

где $Z_{11},Z_{22},Z_{33}$ — собственные импедансы контуров, равные:

\[Z_{11}=Z_1+Z_2+Z_3(1.4),\ \] \[Z_{22}=Z_4+Z_5+Z_6+Z_2\left(1.5\right),\] \[Z_{33}=Z_3+Z_6+Z_2\left(1.6\right).\]

$Z_{12}$, $Z_{13}$… — взаимные импедансы контуров. Они равны импедансам участков контуров, причем их знак зависит от того в каком направлении проходит ток соответствующий участок по отношению к контурному току. В нашем случае:

\[Z_{12}=-Z_2,\ Z_{21}=-Z_2\ \left(1.7\right).\]

Количество уравнений, которые мы записали, равно количеству неизвестных токов. Решим нашу систему уравнений:

\[I_1=U\left(\frac{{\triangle }_{11}}{\triangle }\right),I_2=U\left(\frac{{\triangle }_{12}}{\triangle }\right),\ I_3=U\left(\frac{{\triangle }_{13}}{\triangle }\right)(1.8).\ \]

где определитель системы равен:

Рисунок 2.

${\triangle }_{11},{\triangle }_{12},{\triangle }_{13}$ — дополнения элементов $Z_{11},Z_{12},Z_{13}$ в определителе $\triangle $:

Рисунок 3.

Задача решена.

Пример 2

Задание: Цепь содержит конденсатор, емкость которого равна $C$, и активное сопротивление $R$ элементы соединены параллельно. Чему равен модуль импеданса? На какой угол напряжение опережает по фазе ток при таком соединении элементов?

Решение:

Заменим емкость $C$ на величину: $\frac{1}{i\omega C}$, учитывая, что соединение элементов параллельное, суммарный импеданс найдем как:

\[\frac{1}{Z}=i\omega C+\frac{1}{R}\to Z=\frac{1}{\frac{1}{R}+i\omega C}\left(2.1\right).\]

Приведем выражение для импеданса к виду:

\[Z=X+iY\ \left(2.2\right).\]

Для этого правую часть выражения (2.1) умножим и разделим на $\frac{1}{R}-i\omega C$, получим:

\[Z=\frac{\frac{1}{R}-i\omega C}{\frac{1}{R2}+{\omega }2C2}=\frac{R-i\omega R2C}{1+{\omega }2C2R2}\left(2.1\right).\]

Модуль импеданса равен:

\[\left|Z\right|=\sqrt{X2+Y2}=\frac{R}{\sqrt{1+{\omega }2C2R2}}.\] \[\varphi =arctg\left(\frac{Y}{X}\right)=-arc\left(\omega RC\right).\]

Ответ: $\left|Z\right|=\frac{R}{\sqrt{1+\omega2C2R2}},\varphi=-arc\left(\omega RC\right).$

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.