+7(499)-938-42-58 Москва
+7(800)-333-37-98 Горячая линия

Правило уравнения деления с переносом на умножение

Содержание

Правило уравнения деления с переносом на умножение

Правило уравнения деления с переносом на умножение

2 х= а+5 =-8 а+1 15 Х:3=955-8 х=23 (х:2+7)-25=45 1,5(х-10)=255 ОПБЕ А Д http://aida.ucoz.ru4 Ребята что означает слово ПОБЕДА? http://aida.ucoz.ru5 С какой крупной датой нашего государства связано слово ПОБЕДА?

http://aida.ucoz.ru6 ПОБЕДА О каком великом событии в истории нашей стра­ны сегодня пойдет речь? И мы с вами в честь этого большого события совершим путешествие по городам – героям http://aida.ucoz.ru8 ПОБЕДА 22 июня 1941 года, в 4 часа утра без объявления войны германские войска напали на нашу страну.

Началась Великая Отечественная война, которая шла почти 4 года http://aida.ucoz.ru10 Что же нам говорят числа из таблицы.

http://aida.ucoz.ru11 Победа досталось дорогой ценой. По приблизительным оценкам, война унесла 27 миллионов человеческих жизней.

180 дальневосточников удостоены звания Героя Советского Союза.

126 боевых кораблей входили в состав Краснознаменной Амурской флотилии на начало 1945 года.

Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

Но можно раскрыть скобку и получить два слагаемых: и .

Такие два слагаемых уже можно переносить по отдельности.

  1. Точно также можно преобразовывать неравенства. Например:

Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем: или Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным.

Справа сократится с , и останется : Теперь можно привести подобные слагаемые: Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

Деление отрицательных чисел

+ : (+) = + + : (−) = − − : (−) = + − : (+) = − При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс».

Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус».

Поэтому в конце результат получится со знаком «минус». Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Запомните!

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

0 : a = 0, a ≠ 0 Делить на ноль НЕЛЬЗЯ! Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел. а : 1 = a

Линейные уравнения.

Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого.

При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения.

Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

−3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.

Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x).

Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга. Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны. Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство.

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным.

Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

Коллегия адвокатов

Для этого: — найти общий знаменатель; — определить дополнительные множители для каждого члена уравнения; — умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить); — перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство; — привести подобные члены; В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Уравнения

Для этого:

  1. — привести подобные члены;
  2. — перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
  3. — упростить уравнение;
  4. — найти общий знаменатель;
  5. — умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
  6. — определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
  7. — вычислить неизвестное.
  • В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
  • Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
  • Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

Решение линейных уравнений 7 класс

Рассмотрим другое уравнение. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число «4», которое стоит при «x», называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при «x» стоял коэффициент «1».

Правила умножения и деления

Но так быть не должно, следовательно, порядок выполнения действий имеет значение.

Тем более, если в выражении имеются скобки: 25 – (18+2) = ?

Пробуем решить двумя способами:

  • 25 – 20 = 5.
  • 25 – 18 + 2 = 9;

Ответы разные, а для того чтобы определить порядок действий, в выражении стоят скобки – они показывают, какое действие нужно выполнить первым. Значит, правильным будет такое решение:

  • 18 + 2 = 20;
  • 25 – 20 = 5.

Другого решения у ответа у примера быть не должно. Итак: Правило первое: Математические действия в выражении выполняются по порядку, начиная с левого, направо.

Правило второе: Если в выражении есть скобки, действие в скобках выполняется в первую очередь, а затем следуют действия по порядку, слева направо. При решении примеров Расставь порядок действий.

Умножить или разделить – на первом месте. Для выражений, в которых присутствуют не сложение либо вычитание, а умножение или деление, действует то же правило: все действия с числами выполняются по порядку, начиная с левого:

Общие сведения об уравнениях

Значение должно быть таким, чтобы при подстановке этого значения в исходное уравнение, получилось верное числовое равенство.

Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части. Уравнение 2 + x = 4 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2.

При любом другом значении равенство соблюдáться не будет Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 2 + x = 4 Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет. Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным.

Вы вправе называть как вам удобнее.

Перенос в правую сторону деления и умножения

Правило уравнения деления с переносом на умножение

е. числом ограниченной точности.

В связи с этим разрядность частного при делении целых чисел определяется необходимой точностью его вычисления и может превышать разрядность делимого или делителя.

На практике деление целых чисел выполняется как деление с остатком: находятся целое неполное точное частное (его произведение с делителем дает целое число, не превышающее делимое) и целый остаток, т.

е. разность между делимым и произведением неполного частного на делитель. Разрядность неполного частного не превосходит разрядности делимого, а разрядность остатка — разрядности делителя (остаток по абсолютной величине всегда меньше делителя). Микропроцессор КР580 не содержит команд деления чисел, поэтому для выполнения этой операции необходимы программы.

Любой программный метод деления сводится к последовательному нахождению цифр частного, начиная с его старшей цифры, путем вычитания делителя из делимого или остатка и анализа получаемой разности.

интернет проект BeginnerSchool.ru

3 + 4 = 7; т.е.

результат четвертого действия плюс результат третьего; Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.: 1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4; 2) умножение: 6 × 4 = 24; 3) сложение: 30 + 24 = 54; Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются.

После этого приступать к вычислениям в следующем порядке: 1) действия, заключенные в скобках; 2) умножение и деление; 3) сложение и вычитание. :

  • Продолжим изучение программы математики в начальной школе и на этот.
  • Продолжим изучение предметов, которые изучают наши дети в начальной школе.

Рациональные методы устных вычислений

Найдем сумму чисел 5287 и 3564, используя способ последовательного поразрядного сложения.

Рассмотрим этот вариант решения на приведенном выше примере, получим: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11; 8851.

Способ круглого числа. Число, имеющее одну значащую цифру и оканчивающееся одним или несколькими нулями, называется круглым числом. Этот способ применяется, когда из двух или более слагаемых можно выбрать такие, которые можно дополнить до круглого числа.

Почему в примерах a : b * c первым выполняется то деление, то умножение?

Данное означает необходимость осуществления постоянного контроля при выполнении преобразований за местом и составом знаменателя с одной стороны, а, с другой стороны, означает необходимость отказа от применения двоеточия и наклонной черты дроби — при постановке задачи без полностью расставленных скобок — во избежание появления какой бы то ни было математической неопределённости, связанной, в том числе, с возможным недопустимым появлением двух результатов вычислений при перемене сомножителей местами, которые, возможно, по смыслу задачи, не находятся, вообще-то, совместно в знаменателе).

Математически указанные сведения в БСЭ записаны следующим образом: (a/b)х(c/d)=(a/b):(d/c)= ac/bd. Вот оно где, наше выражение — в БСЭ!

Совет 1: Как объяснить деление в столбик

Тогда при объяснении деления можно разрешить подглядывать в шпаргалку, но таблицу все-таки придется выучить.

2 Начните с самого простого – деление числа на однозначное число.

Проверьте, чтобы в ответе получался без остатка, иначе малыш может запутаться. Возьмите, к примеру, 372 и предложите разделить на 6 частей.

3 Запишите делимое и делитель через разделительную вертикальную черту. Под делителем вы будете записывать ответ — частное, отделив его горизонтальной чертой.

Возьмите первую цифру числа 372 и спросите у ребенка, сколько раз число шесть «помещается» в тройке.
Правильно, нисколько. 4 Тогда возьмите уже две цифры — 37.

Для наглядности можно выделить их уголком.

Снова повторите вопрос – сколько раз число шесть содержится в 37. Чтобы сосчитать быстро, пригодится таблица умножения. Подберите ответ вместе: 6*4 = 24 – совсем непохоже; 6*5 = 30 – близко к 37.

Но 37-30 = 7 – шесть «поместится» еще раз.

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений.

Правило переноса слагаемого.

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус».

Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

Кроме того, правило работает и для неравенств. Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6.

Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую: 2=7x−6−5x. Далее переносим (−6) из правой части в левую: 2+6=7x−5x. Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+».

При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

−3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.

Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)).

Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x).

Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны.

Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство.

2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону.

Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было.

А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения . Для решения используются другие методы.

zakondostatka.ru

Правило уравнения деления с переносом на умножение

« Бюро медико социальной экспертизы в тамбове Продлено действие патента на промышленный образец » admin | 20.05.2020 — 13:38 |20.05.2020 Статьи Решение простых уравнений. 5 класс Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Информация для родителей Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа». Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления.

Уравнение правило переноса

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой.

  1. Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
  2. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.

Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».

Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.

Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.

Цели урока Образовательные: Закрепить понятие корня уравнения, правила переноса слагаемого из одной части уравнения в другую, умножения и деления обеих.

— презентация

Мы предполагаем, что вам понравилась эта презентация. Чтобы скачать ее, порекомендуйте, пожалуйста, эту презентацию своим друзьям в любой соц.

сети. Кнопочки находятся чуть ниже. Спасибо. Кнопки: Назад Скачать презентацию Идет загрузка презентации. Пожалуйста, подождите

Презентация была опубликована 3 года назад пользователем Получить код презентации Скачать Показать еще Цели урока Образовательные: Закрепить понятие корня уравнения, правила переноса слагаемого из одной части уравнения в другую, умножения и деления обеих частей уравнения на одно и то же число неравное нулю, умения решать задачи с помощью уравнений.

Воспитательные: воспитывать навыки самоконтроля, взаимоконтроля, самооценки; к предмету и уверенность в своих силах.

воспитывать чувства гражданственности и патриотизма,

Правила переноса в уравнениях

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства). При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный . Давайте разберём правило переноса на примере.

Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть. Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Перенос чисел из одной части уравнения в другую

Правило уравнения деления с переносом на умножение

Задачи урока:- образовательные: создание условий для усвоения формирование вычислительных навыков с рациональными числами, формирование общеучебных и общекультурных навыков работы с информацией, формирование навыка применения решения уравнений.

— воспитательные: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность, оценивать себя и своих товарищей- развивающие :развитие зрительной памяти, внимания, смысловой памяти, умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Основные понятия: уравнение, корень уравнения, решение

Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого

Правило переноса слагаемого. При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения.

Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный.

Кроме того, правило работает и для неравенств. Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6. Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую: 2=7x−6−5x.

Далее переносим (−6) из правой части в левую: 2+6=7x−5x.

Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение. −3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем: −4+y=3×2(2+7x). Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)).

Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого.

Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x).

Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга. Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны.

Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство. 2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным.

Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

Это правило зачастую используется для решения .

Линейные уравнения 7 класс

Если перед скобками стоит знак «+», знаки не меняем.

Для решения используются другие методы.

Если перед скобками стоит знак «-«, знаки меняем на противоположные:

Неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую.

При переносе знаки слагаемых меняем на противоположные:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Уравнения с переносом слагаемых примеры

Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: И ещё один «слой» снят с неизвестной!

Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность» И последний шаг — известное произведение () и один из множителей () Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс.

Перечислим их все: Сложение Разберём на примере, как применять данные правила. Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().

В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. После того,

Решение уравнений, правило переноса слагаемых

Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля.

Типичные уравнения: или Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае.

Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали? (Ответы детей) — Переходя мост они меняли цвет одежды на противоположный! А теперь вернемся к нашим уравнениям и посмотрим, что происходит с числами при переходе через «мост» — из одной части равенства в другую.

— Числа меняют свои знаки на противоположные! Правило. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, знаки изменяем на противоположные!

Используя это правило, решим наше уравнение.

Договоримся, что в левой части у нас будут жить слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой части, числа не содержащие буквенного множителя. х + 5 = — 2х – 7 х + 2х = — 7 – 5 3х = -12

Основные приемы решения уравнений

Таким образом, (4) есть верное числовое равенство.

Но это означает, что a есть корень уравнения (2).

Итак, каждый корень уравнения (1) является также корнем уравнения (2), т.

е. (1)

(2).

Аналогично доказывается, что (2)(1). Итак, мы доказали, что при переносе любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получается равносильное уравнение.

В частности, мы можем, если нужно, перенести все слагаемые в одну часть уравнения. Иначе говоря, f(x) = g(x) f(x) — g(x) = 0 что является частным случаем эквивалентности (1)(2). Мы видим, что любое уравнение с одним неизвестным можно заменить эквивалентным уравнением вида h(х) = 0, т.

е. уравнением, в левой части которого стоит некоторая функция, а правая часть равна нулю. Указанное преобразование (перенос членов из одной части уравнения в другую) применяется при решении уравнений чрезвычайно часто.

Линейные уравнения

Правило уравнения деления с переносом на умножение

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

В этом уроке ты научишься решать линейные уравнения и поймешь как делать два вида преобразований, чтобы решать линейные уравнения было ЛЕГЧЕ! 

Все мы с детства знаем такую задачу: «У Васи есть   яблок. Мальчик решил поделиться яблоками с   друзьями.

Сколько яблок досталось каждому другу?» 

Каждый из нас, не задумываясь, ответит: «Каждому другу досталось по   яблока». 

А вот теперь я предлагаю все же задуматься… Да-да. Оказывается, отвечая на такой простой вопрос ты в голове решаешь линейное уравнение! 

Смотри:

  или в устной форме – трем друзьям дали по   яблок из расчета, что всего в наличии у Васи   яблок.

Соответственно, дальше ты находишь   путем деления произведения на известный тебе множитель:

И вот ты уже решил линейное уравнение.

Теперь дадим этому термину математическое определение.

Что такое «линейные уравнения» «Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований Линейные уравнения. 3 примера Линейные уравнения с двумя переменными Линейные уравнения. коротко о главном

Что такое «линейные уравнения»

Линейное уравнениеэто алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  . Оно выглядит следующим образом:

 , где   и   – любые числа и

 .

Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

  – «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

Иными словами линейное уравнение это такое уравнение, у которого нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., здесь есть дроби, но и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс.

«Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида  , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду.

Например:

Мы видим, что справа стоит  , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.

Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет  , но не надо торопиться с выводами!

Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример.

При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными.

Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

Перенос влево – вправо

Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо».

Какое выражение с иксом стоит справа?

Правильно,  , а не как не  .

И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ.

А какое выражение с иксом стоит слева?

Правильно,  .

Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую.

И помня, что если перед числом нет никакого знака, например,  , то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

ВАЖНО: при переносе через знак равенства, знаки при слагаемых меняются на противоположные.

Перенес? Что у тебя получилось?

Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:

Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал.

Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

Умножение-деление

Начнем сразу же с примера

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере?

Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает…

И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

Как можно от неё избавиться?

Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от  ), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на  !

Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так!

Что у нас получается?

Вот и ответ.

Посмотрим теперь другой пример:

Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на  ! Какой ты получил ответ? Правильно.  .

ВАЖНО: при делении, либо умножении на какое-либо число, действие совершается как в левой, так и в правой части уравнения

Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего – Например, для решения нашего большого примера:

Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
Раскрыл? Сравниваем:

Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом.

Складываем все отдельно – множители, у которых есть  , множители, у которых есть   и остальные множители, в которых нет неизвестных.

Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение. Осталось только найти  !

И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других.

Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

Линейные уравнения. 3 примера

Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

Ответы:

1. Является.

2. Не является.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на  :

Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

3. Является.

Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на  , чтобы избавиться от знаменателя.

Подумай, почему так важно, чтобы  ? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда   невозможна. Почему?
Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными

Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.

Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

 , где  ,   и   – любые числа и  .

Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

Какой бы привести тебе жизненный пример…

Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а   яблока оставит себе.

Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по   яблоку? А по  ? А если по  ?

Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

 , где

  •   – количество яблок, которое получит   человек ( , или  , или  );
  •   – количество яблок, которое Вася возьмет себе;
  •   – сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст   яблоко, то ему необходимо покупать   штук, если даст   яблока –   и т.д.

И вообще. У нас две переменные.

Почему бы не построить эту зависимость на графике?

Строим и отмечаем значение наших  , то есть точки, с координатами  ,   и  !

Как ты видишь,   и   зависят друг от друга линейно, отсюда и название уравнений – «линейные».

Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения.

Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

Найди и отметь на обоих рисунках точки  , соответствующие  .
Что у тебя получилось?

Ты видишь, что на графике первой функции одному   соответствует один  , то есть   и   линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию.

Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике   так же соответствует   икс –   , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой  , которому соответствует не только один  .

Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия.

С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет   в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например   или  .

Но я тебя уверяю – ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

А что будет, если мы разделим что-то на  , например, какое-то число?

Будет ли линейная зависимость   и  ?

Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции  .

Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.

Подведем итоги:

  1. Линейное уравнение – это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  .

  2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
     , где   и   – любые числа  ;
    Линейное уравнение с двумя переменными:
     , где  ,   и  – любые числа  .
  3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет.

    Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

Линейные уравнения. коротко о главном

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна  .

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

 , где   и   – любые числа  ;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

 , где  ,   и  – любые числа  .

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

  • перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
  • умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.